ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 831

\[\boxed{\mathbf{831.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[O = AC \cap BD.\]

\[P_{\text{AOB}} = P_{\text{BOC}} = P_{\text{COD}} = P_{\text{AOD}} = P.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[ABCD - ромб.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ По\ условию;\]

\[OA + OB + AB =\]

\[= OB + OC + BC;\]

\[OC + OD + CD =\]

\[= OD + OA + AD;\]

\[тогда:\]

\[AC + BD + AB + CD =\]

\[= AC + BD + BC + AD.\]

\[Значит:\]

\[AB + CD = BC + AD.\]

\[2)\ Суммы\ противоположных\ \]

\[сторон\ равны,\ как\ и\ разности\ \]

\[смежных\ сторон:\]

\[AB - BC = AD - CD.\]

\[3)\ Пусть\ AB > BC \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AD > CD;\ \ AO > OC:\]

\[Неравенство\ для\ сумм\ \]

\[периметров\]

\[P_{\text{AOB}} + P_{\text{AOD}} > P_{\text{BOC}} + P_{\text{COD}}\text{\ \ }\]

\[противоречит\ условию\ задачи.\]

\[4)\ Пусть\ AB < BC:\]

\[неравенство\ для\ сумм\ \]

\[периметров\ \ противоречит\ \]

\[условию;\]

\[P_{\text{AOB}} + P_{\text{AOD}} < P_{\text{BOC}} + P_{\text{COD}}.\]

\[Следовательно:\]

\[AB = BC;\ \ AD = CD.\]

\[5)\ Аналогично\ предыдущему,\ \]

\[из\ равенства\ AB - AD =\]

\[= BC - CD:\ \]

\[AB = AD;\ \ BC = CD.\]

\[Значит:\ \]

\[AB = BC = CD = AD.\]

\[6)\ \ ABCD - параллелограмм\]

\[\ (по\ третьему\ признаку):\]

\[AB = CD;BC = AD.\]

\[Если\ все\ стороны\ \]

\[параллелограмма\ равны,\ то\ \]

\[он\ ромб:\]

\[ABCD - ромб.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]