ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 851

\[\boxed{\mathbf{851.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[BE = EF = FC;\]

\[AG = GH = HD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[S_{\text{EFHG}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABCD}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Допустим:\]

\[AG = GH = HD = a;\]

\[BE = EF = FC = b.\]

\[2)\ BE = EF;\ B_{1}E_{1} = E_{1}F_{1} = d_{1}:\]

\[DB_{1} + DE_{1} + DF_{1} =\]

\[= \left( DE_{1} - d_{1} \right) + DE_{1} + \left( DE_{1} + d_{1} \right) =\]

\[= 3DE_{1}.\]

\[3)\ Аналогично:\]

\[KG_{1} + KH_{1} + KD_{1} = 3KH_{1}.\]

\[4)\ S_{\text{ABCD}} =\]

\[= \frac{3}{2} \bullet \left( a \bullet DE_{1} + b \bullet KH_{1} \right).\]

\[5)\ S_{\text{EFBG}} = S_{\text{GEH}} + S_{\text{EFH}} =\]

\[= \frac{a}{2}DE_{1} + \frac{b}{2}KH_{1} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( a \bullet DE_{1} + b \bullet KH_{1} \right).\]

\[6)\ Получаем:\]

\[\frac{S_{\text{EFHG}}}{S_{\text{ABCD}}} = \frac{\frac{1}{2} \bullet \left( a \bullet DE_{1} + b \bullet KH_{1} \right)}{\frac{3}{2} \bullet \left( a \bullet DE_{1} + b \bullet KH_{1} \right)} =\]

\[= \frac{1}{3}.\]

\[S_{\text{EFHG}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABCD}}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]