ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 863

\[\boxed{\mathbf{863.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[F \in AB;E \in AF;\]

\[AE = BF;\ \]

\[CM - медиана;\]

\[EK \parallel AC;FK \parallel BC.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[K \in CM.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Допустим:\]

\[AM = MB = d;\ \ AE = FM = f.\]

\[Получим:\]

\[EM = MF = d - f \Longrightarrow KM -\]

\[медиана\ треугольника\ \text{EFK.}\ \]

\[2)\ Отметим:\]

\[D = AC \cap FK;\ \ G = BC \cap EK\ \]

\[(точки\ пересечения).\]

\[3)\ KGCD - параллелограмм;\ \]

\[KC - его\ диагональ:\]

\[\angle DCG = \angle DKG = \angle C.\]

\[4)\ Достроим\ \mathrm{\Delta}EFK\ до\ \]

\[параллелограмма\ EHFK,\ \]

\[в\ котором\ ( \bullet )\text{M\ }делит\ \]

\[диагонали\ пополам\ \]

\[и\ находится\ на\ \text{KH.}\]

\[5)\ HF \parallel AC\ (по\ построению);\]

\[то\ для\ секущей\ \text{AC}:\ \]

\[D \in \text{FK};\ \]

\[\angle\text{ACH} = \angle\text{HFD} = \angle HFK.\ \ \]

\[Для\ секущей\ EK:\]

\[\ \angle EKH = \angle HFK;\ \ тогда\]

\[\angle ACH = \angle EKH;\ \ EK \parallel AC;\ \ \]

\[K \in CH.\]

\[6)\ Следовательно:\]

\[K \in CH;\ \ M \in KH;\ \ K \in CM.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]