ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 892

\[\boxed{\mathbf{892.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[⊿ABC;\]

\[A_{1}B_{1}C_{1} - на\ прямых\ \]

\[BC;AC;BA;\]

\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]

\[Доказать:\]

\[A_{1};B_{1}C_{1} - лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[Проведем\ прямую\ A_{1}C_{1};\]

\[B_{2} - точка\ ее\ пересечения\ \]

\[с\ прямой\ \text{AC.}\]

\[По\ теореме\ Менелая:\]

\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]

\[Тогда:\]

\[\frac{CB_{1}}{B_{1}A} = \frac{CB_{2}}{B_{2}A}.\]

\[Пусть\ CB_{1} = x;\ \ CB_{2} = y;\]

\[AC = b.\]

\[Получаем:\]

\[\frac{x}{b + x} = \frac{y}{b + y}\]

\[x(b + y) = y(b + x)\]

\[x(x - y) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :b\]

\[x = y.\]

\[Из\ аксиомы\ об\ откладывании\ \]

\[отрезка\ следует,\ что\ B_{1}\ \]

\[совпадает\ с\ B_{2}.\]

\[Значит,\ все\ точки\ находятся\ \]

\[на\ одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]