ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 894

\[\boxed{\mathbf{894.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ на\ сторонах\ AB;BC;AC\ \]

\[треугольника\ \text{ABC\ }взяты\ \]

\[соответственно\ точки\ C_{1};A_{1}B_{1},\ \]

\[для\ которых\ выполняется\ \]

\[равенство:\]

\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1(*).\]

\[Предположим,\ что\ прямые\ \]

\[AA_{1}\ и\ BB_{1}\ пересекаются\ \]

\[в\ точке\ \text{O.}\]

\[Проведем\ прямую\ CO;\]

\[C^{'} - точка\ ее\ пересечения\ с\ \text{AB.}\]

\[Докажем,\ что\ C^{'}\ совпадает\ с\ C_{1}.\]

\[Для\ точек\ A_{1};B_{1};C^{'}\]

\[выполняется\ равенство:\]

\[\frac{AC^{'}}{C^{'}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]

\[Учитывая\ равенство\ (*),\ \]

\[получаем:\]

\[\frac{AC^{'}}{C^{'}B} = \frac{A_{1}C}{C_{1}B}.\]

\[Следовательно,\ точки\ C^{'}\ и\ C_{1}\ \]

\[совпадают.\]

\[Значит,\ прямые\ AA_{1};BB_{1};\]

\[CC_{1} - пересекаются\ в\ одной\ \]

\[точке.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]