\[\boxed{\mathbf{897.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Доказательство.\]
\[По\ свойству\ биссектрисы\ \]
\[треугольника\ (из\ ⊿ABF):\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{AF}} = \frac{\text{BO}}{\text{OF}}\]
\[AB = \frac{\text{BO}}{\text{OF}} \cdot AF.\]
\[По\ свойству\ биссектрисы\ \]
\[треугольника\ \left( из\ ⊿\text{CBF} \right):\]
\[\frac{\text{CB}}{\text{CF}} = \frac{\text{BO}}{\text{OF}}\]
\[CB = \frac{\text{BO}}{\text{OF}} \cdot CF.\]
\[Отсюда:\]
\[AB + CB = \frac{\text{BO}}{\text{OF}} \cdot AF + \frac{\text{BO}}{\text{OF}} \cdot CF\]
\[AB + CB = \frac{\text{BO}}{\text{OF}}(AF + CF)\]
\[AB + CB = \frac{\text{BO}}{\text{OF}} \cdot AC.\]
\[Разделим\ обе\ части\ равенства\ \]
\[на\ AC:\]
\[\frac{AB + CB}{\text{AC}} = \frac{\text{BO}}{\text{OF}}.\]
\[Аналогично\ доказываем,\ что:\]
\[\frac{\text{AO}}{\text{OK}} = \frac{AB + AC}{\text{BC}};\]
\[\frac{\text{CO}}{\text{OM}} = \frac{BC + AC}{\text{AB}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]