Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 909
Задание 909
\[\boxed{\mathbf{909.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[H - точка\ пересечения\ высот;\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} - симметричны\ A,B\ и\ \]
\[\text{C.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} \in описанной\ \]
\[окружности.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Докажем,\ что\ точка\ A^{'}\]
\[лежит\ на\ окружности,\]
\[описанной\ около\ \mathrm{\Delta}ABC.\]
\[Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[остроугольный\ (\angle B < 90{^\circ}):\]
\[\angle CBA^{'} = \angle CBH = 90{^\circ} - \angle C;\]
\[\angle ABA^{'} = 90{^\circ} - \angle C + \angle B.\]
\[2)\ Аналогично:\ \]
\[\angle ACA^{'} = 90{^\circ} - \angle B + \angle C.\]
\[3)\ Таким\ образом,\ \]
\[в\ четырехугольнике\ \text{AB}A^{'}C:\]
\[\angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ него\ можно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность\ \]
\[описанная\ около\ \ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[4)\ Аналогично - \ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[5)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[прямоугольный\ (\angle B = 90{^\circ}):\]
\[точка\ пересечения\ высот\ \]
\[будет\ совпадать\ с\ точкой\ \]
\[B = H,\ \]
\[\Longrightarrow A^{'} = C^{'} = H = B.\]
\[6)\ ABCB^{'} - прямоугольник:\ \]
\[AB^{'} = BC;\]
\[CB^{'} = AB;\]
\[\angle B = 90{^\circ}.\]
\[7)\ Вокруг\ прямоугольника\ \]
\[можно\ описать\ окружность,\ \]
\[но\ через\ точки\ A,B\ и\ \text{C\ }может\ \]
\[проходить\ только\ одна\ \]
\[окружность\ \ описанная\ около\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[8)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[тупоугольный\ (\angle B > 90{^\circ}):\]
\[\angle AA^{'}B = 180{^\circ} - \angle HA^{'}B =\]
\[= 180{^\circ} - BHA^{'},\ но\]
\[\angle BHA^{'} = \angle BHA =\]
\[= 90{^\circ} - \angle CAH = \angle C.\]
\[10)\ Таким\ образом\ \]
\[в\ четырехугольнике\ AA'BC:\]
\[\angle A^{'} + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ негоможно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность,\ \]
\[описанная\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[5)\ Аналогично\ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
