\[\boxed{\mathbf{1122.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ \ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Окружность\ (O;r);\]
\[\mathrm{\Delta}ABC\ и\ \mathrm{\Delta}A_{1}\text{BC.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{\text{BC}}{\sin{\angle A}} = 2R.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ R - радиус\ описанной\]
\[\ вокруг\ \mathrm{\Delta}ABC\ окружности.\]
\[2)\ Проведем\ BA_{1} =\]
\[= \text{d\ }и\ рассмотрим\ \mathrm{\Delta}A_{1}BC:\]
\[\angle A_{1}CB = 90{^\circ} \Longrightarrow BC =\]
\[= BA_{1} \bullet \sin{\angle A_{1}}.\]
\[4)\ BC = BA_{1}\sin{\angle A}\]
\[BC = 2R \bullet \sin{\angle A} = \frac{\text{BC}}{\sin{\angle A}} = 2R.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]