Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1372
Задание 1372
\[\boxed{\mathbf{1372.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[A,B\ и\ C - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой;\]
\[O - произвольная\ точка.\]
\[Доказать:\]
\[существуют\ k,l,m \neq 0\ и\]
\[\ k + l + m = 0;\]
\[k\overrightarrow{\text{OA}} + l\overrightarrow{\text{OB}} + m\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Разложим\ векторы\ \]
\[\overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}}\ на\ составляющие\]
\[\ \overrightarrow{OA^{'}},\overrightarrow{OB^{'}},\overrightarrow{OC^{'}},\ \]
\[параллельныепрямой\ \text{AC\ }\]
\[и\ составляющую\ \overrightarrow{\text{OE}},\ \]
\[перпендикулярную\ \]
\[прямой\ \text{AC.}\]
\[2)\ Введем\ единичные\ вектор\ \]
\[\overrightarrow{e},\ параллельный\ \text{AC.}\]
\[3)\ Получаем:\]
\[k\overrightarrow{\text{OA}} + l\overrightarrow{\text{OB}} + m\overrightarrow{\text{OC}} =\]
\[= ( - k \bullet AE - l \bullet BE + m \bullet EC)\overrightarrow{e}.\]
\[4)\ Вертикальная\ \]
\[составляющая\ для\ любой\ \]
\[точки\ \text{O\ }равна\ 0,\ если\]
\[k + l + m = 0.\]
\[5)\ Пусть\ k = 1:\]
\[\left\{ \begin{matrix} AE - l \bullet BE + m \bullet EC = 0 \\ 1 + l + m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} m(BE + EC) + BE = AE \\ l = - m - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} m = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ l = - \frac{\text{AB}}{\text{BC}} - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[6)\ Вернемся\ к\ уравнению\ из\ \]
\[пункта\ 3:\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
