\[\boxed{\mathbf{165.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[a\bot AB;\]
\[a \in AB = O.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[1)\ AD = DB;\]
\[2)\ если\ AD = DB;то\ D \in a.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}DOA = \mathrm{\Delta}\text{DOB} - \ по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[DO - общая\ сторона;\]
\[\angle DOA = \angle DOB = 90{^\circ}\ \]
\[(так\ как\ a\bot AB);\]
\[AO = OB\ (по\ условию).\]
\[Получаем:\ AD = DB.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}\ DOA = \mathrm{\Delta}DOB - по\ трем\ \]
\[сторонам:\ \]
\[DO - общая\ сторона;\]
\[AD = DB\ (по\ условию);\]
\[AO = OB\ (по\ условию).\]
\[Значит:\]
\[\ \angle ADO = \angle ODB;\ \ \]
\[\angle AOD = \angle DOB.\]
\[3)\ \angle AOD\ и\ \angle DOB - смежные\ \]
\[и\ равные\ (по\ пункту\ 2):\]
\[\angle AOD = \angle DOB = 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[DO\bot AB;\ \ OD\ и\ a - совпадают;\ \]
\[D \in a.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]