ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 311

\[\boxed{\mathbf{311.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AM - медиана.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AM < \frac{AB + AC}{2}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ На\ продолжении\ медианы\ AM\ отложим\ от\ точки\ \text{M\ }отрезок\ \]

\[MD = AM.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AMC = \mathrm{\Delta}BMD - по\ двум\ сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]

\[\angle AMC = \angle BMD\ (как\ вертикальные);\ \]

\[AM = MD\ (по\ построению);\]

\[BM = MC.\]

\[Отсюда:\ \]

\[AC = BD.\ \]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABD:\]

\[AD < AB + BD\ (по\ неравенству\ треугольника);\]

\[AD = AM + MD = 2AM\ (по\ построению);\]

\[AC = BD \Longrightarrow \ AB + BD = AB + AC.\]

\[2AM < AB + AC \Longrightarrow AM < \frac{AB + AC}{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]