\[\boxed{\mathbf{407.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{прямая,\ проходящая\ через\ }\]
\[\mathbf{центр\ окружности,\ является\ }\]
\[\mathbf{ее\ осью\ симметрии}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ прямую\ через\ \]
\[центр\ \text{O\ }окружности,\ отметим\ \]
\[точки\ \text{A\ }и\ B\ на\ пересечении\ \]
\[этой\ прямой\ и\ окружности.\]
\[2)\ Так\ как\ отрезок\ \text{AB\ }\]
\[проходит\ через\ центр\ \]
\[окружности,\ то\ он\ является\]
\[ее\ диаметром.\]
\[3)\ Отметим\ на\ окружности\ \]
\[произвольную\ точку\ X,\ \]
\[опустим\ из\ нее\ перпендикуляр\ \]
\[\text{XM}\ на\ прямую\ \text{AB\ }и\ отметим\ \]
\[точку\ X^{'}\ на\ пересечении\ \]
\[прямой\ XO_{1}\ и\ окружности.\]
\[4)\ OX = OX^{'} = R,\ значит,\ \]
\[в\ равнобедренном\ \]
\[треугольнике\ \text{AX}X^{'}\ высота\ \text{OM\ }\]
\[является\ медианой,\ отсюда:\ \ \]
\[XM = MX.\]
\[5)\ Таким\ образом,\ точки\ \text{X\ }и\ X^{'}\ \]
\[симметричны\ относительно\ \]
\[прямой\ AB,\]
\[а\ так\ как\ точка\ X\ \]
\[произвольная,\ то\ любая\ точка\ \]
\[окружности\ симметрична\]
\[какой\text{-}нибудь\ другой\ ее\ точке\ \]
\[относительно\ прямой\ \text{AB}.\]
\[6)\ Значит,\ прямая\ \text{AB\ }является\ \]
\[осью\ симметрии\ данной\ \]
\[окружности.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]