\[\boxed{\mathbf{419.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AB - прямая;\]
\[AC_{1} = BC_{2};\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2};\]
\[AB \cap C_{1}C_{2} = O.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AO = OB.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ прямые\ AC_{1}\ и\ \]
\[BC_{2};\ AB - секущая:\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2}\ \]
\[(как\ накрест\ лежащие);\]
\[2)\ Рассмотрим\ AC_{1} \parallel BC_{2};\ \ \]
\[C_{1}C_{2} - секущая:\]
\[\angle AC_{1}O = \angle OC_{2}\text{B\ }\]
\[(как\ накрест\ лежащие).\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AC_{1}O = \mathrm{\Delta}OC_{2}B - по\ \]
\[стороне\ и\ двум\ прилежащим\ \]
\[углам:\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2};\ \]
\[AC_{1} = BC_{2};\ \]
\[\angle AC_{1}O = \angle OC_{2}\text{B.}\]
\[Отсюда:\ \]
\[AO = OB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]