ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 438

\[\boxed{\mathbf{438.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AM - медиан;\]

\[AD - биссектриса;\]

\[AH - высота.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[D \in HM.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ AB < AC:\ \]

\[2)\ \angle ADB + \angle ADC = 180{^\circ}\ \]

\[(как\ смежные):\]

\[\angle ADB < 90{^\circ}\ и\ \angle ADC > 90{^\circ}.\]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ADC -\]

\[тупоугольный:\]

\[\text{H\ }лежит\ на\ продолжении\ \]

\[стороны\ \text{DC\ }(задача\ №300) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow H \in DB.\]

\[4)\ Но\ BD < CD\ (задача\ 341):\ \]

\[BD < \frac{1}{2}BC = BM\ \ \]

\[(так\ как\ AM - медиана).\]

\[5)\ Отсюда:\ \]

\[M \in DC\ и\ H \in DB \Longrightarrow \ D \in HM.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]