\[\boxed{\mathbf{459.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\angle KEM - острый;\]
\[A - лежит\ внутри\ \angle KEM;\]
\[B \in EK;C \in EM.\]
\[Найти:\]
\[\text{B\ }и\ \text{C\ }так,\ чтобы\ периметр\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC\ был\ наименьшим.\]
\[Решение.\]
\[1)\ Построим\ точку\ D_{1},\]
\[симметричную\ точке\ \text{A\ }\]
\[относительно\ луча\ EK,\ и\]
\[точку\ D_{2},\ симетричную\ \]
\[точке\ \text{A\ }относительно\ луча\ \text{EM.}\]
\[2)\ D_{1}D_{2} \cap EK = B;\]
\[D_{1}D_{2} \cap EM = C;\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC - искомый.\]
\[3)\ Докажем.\]
\[По\ неравенству\ треугольника:\ \]
\[D_{1}D_{2} < D_{1}A + AD_{2};но\ \]
\[D_{1}D_{2} = D_{1}B + BC + CD_{2}.\]
\[D_{1}B = BD\ и\ CD_{2} = CD \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow D_{1}D_{2} = BD + BC + CA\ \]
\[или\ D_{1}D_{2} = P_{\text{ABC}} - он\ \]
\[наименьший.\]
\[Так\ как\ AB + BC - наименьшая\ \]
\[и\ AC + BC - наименьшая.\]