\(\boxed{\mathbf{489}\mathbf{.}\mathbf{еуроки}\mathbf{-}\mathbf{ответы}\mathbf{\ }\mathbf{на}\mathbf{\ }\mathbf{пятёрку}}\)
\[1)\mathbf{\ Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[F - середина\ AB;\]
\[G - середина\ \text{CD.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[FG \parallel AD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ через\ точку\ \text{F\ }\]
\[прямую,\ которая\ параллельна\ \]
\[\text{BC\ }и\ AD:\ \ \ \]
\[FG \cap CD = G;\]
\[CG = GD\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[2)\ FG - средняя\ линия\ \]
\[трапеции:\]
\[FG \parallel AD.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[2)\ Дано:\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{средняя\ линия\ трапеции\ равна\ }\]
\[\mathbf{полусумме\ оснований}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ ABCD - данная\ \]
\[трапеция\ с\ основаниями\ \]
\[\text{AB\ }и\ \text{CD.}\]
\[2)\ Проведем\ через\ вершину\ \text{B\ }\]
\[и\ середину\ \text{P\ }боковой\ стороны\ \]
\[\text{CD\ }прямую,она\ пересечет\ \]
\[прямую\ AD\ в\ некоторой\ \]
\[точке\ \text{E.}\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}PBC = \mathrm{\Delta}PED - по\ второму\ \]
\[признаку:\]
\[CP = DP\ (по\ построению);\ \ \]
\[\angle CPB = \angle DPE\ \]
\[(как\ вертикальные);\]
\[\angle PCB = \angle PDE\ (как\ внутренние\ \]
\[накрест\ лежащие\ при\ \]
\[параллельных\ прямых\ BC\ и\ \text{AD\ }\]
\[и\ секущей\ CD).\]
\[Отсюда:\ \]
\[PB = PE\ и\ BC = DE.\]
\[4)\ Значит,\ средняя\ линия\ \text{PQ\ }\]
\[данной\ трапеции\ является\ \]
\[средней\ линией\]
\[треугольника\ ABE;\ \ \ \]
\[PQ = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}(AD + DE) =\]
\[= \frac{1}{2}(AD + BC).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]