\[\boxed{\mathbf{535.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[\angle A + \angle D = 90{^\circ};\]
\[BN = NC;\]
\[AM = MD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MN = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ NE \parallel AB\ и\ \]
\[NF \parallel CD:\ \]
\[\text{ABNE\ }и\ NCDF -\]
\[параллелограммы\ \]
\[(по\ определению\ \]
\[параллелограмма).\ \]
\[2)\ NCDF - параллелограмм:\]
\[NC = FD\ и\ NF = CD.\]
\[3)\ ABNE - параллелограмм:\]
\[BN = AE\ и\ AB = NE.\]
\[4)\ AM = MD;\ BN = NC;\ \]
\[AM = AE + EM;\ \]
\[MD = FD + MF;\]
\[отсюда:\]
\[EM = MF \Longrightarrow NM - медиана\ \]
\[в\ \mathrm{\Delta}ENF.\]
\[5)\ \angle A = \angle NEM\ \]
\[(как\ соответственные);\]
\[\ \angle D = \angle NFM\ \]
\[(как\ соответственные)\text{.\ }\]
\[6)\ \angle D + \angle A = \angle NEM + \angle NFM =\]
\[= 90{^\circ}:\]
\[\angle ENF = 90{^\circ} \Longrightarrow ⊿ENF -\]
\[прямоугольный.\]
\[7)\ В\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ медиана\ равна\ \]
\[половине\ гипотенузы\ (№404):\ \]
\[NM = \frac{1}{2}\text{EF.}\]
\[8)\ EF = AD - (AE + FD);\]
\[\ BN = AE;\ \ NC = FD;\]
\[EF = AD - (BN + NC) =\]
\[= AD - BC.\]
\[9)\ NM = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]