\[\boxed{\mathbf{616}\mathbf{.}\mathbf{еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AC \cap BD = O.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[OA \bullet OB = OC \bullet OD.\]
\[Сравнить:\]
\[\textbf{а)}\ S_{\text{ABD}}\ и\ S_{\text{ACD}};\]
\[\textbf{б)}\ S_{\text{ABO}}\ и\ S_{\text{CDO}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ BH = CF\ (как\ высоты):\]
\[1)\ \angle BOA = \angle COD\ \]
\[(как\ вертикальные):\]
\[По\ теореме\ об\ отношении\ \]
\[углов\ треугольников\ \]
\[с\ равными\ углами:\]
\[\frac{S_{\text{BOA}}}{S_{\text{COD}}} = \frac{BO \bullet OA}{OC \bullet OD}.\]
\[3)\ S_{\text{ABO}} = S_{\text{CDO}} \Longrightarrow 1 = \frac{BO \bullet OA}{OC \bullet OD};\]
\[BO \bullet OA = OC \bullet OD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\(Ответ:а)\ Равны;б)\ Равны.\)