\[\boxed{\mathbf{625.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - равнобедренная\ \]
\[трапеция;\]
\[AC\bot BD;\]
\[AB = CD;\]
\[BC + AD = 2a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ S_{\text{ABCD}} = \frac{1}{2}(BC + AD) \bullet BH =\]
\[= \frac{2a}{2} \bullet BH = a \bullet BH.\]
\[2)\ Дополнительное\ \]
\[построение - FD\bot BF:\]
\[HBFD - прямоугольник.\]
\[2)\ Перенесем\ \text{AC}\ \]
\[параллельным\ переносом,\ \]
\[получим\ HF:\]
\[AC = HF.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}ACD - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle A = \angle D;\]
\[AB = CD;\]
\[AD - общая.\]
\[Соответствующие\ элементы\ \]
\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]
\[AC = BD.\]
\[4)\ Рассмотрим\ BHDF:\]
\[BH\bot HD,\ DF\bot BF;BD = HF;\]
\[HF\bot BD;\]
\[BHDF - квадрат;\]
\[S_{\text{HBDF}} = \text{BH}^{2}.\]
\[5)\ S_{\text{ABCD}} = S_{\text{HBFD}} = BH^{2}.\]
\[6)\ a \bullet HB = BH^{2}\]
\[a = BH.\]
\[7)\ S_{\text{ABCD}} = a^{2}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = a^{2}.\]