\[\boxed{\mathbf{626.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - четырехугольник;\]
\[AC\bot BD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AD^{2} + BC^{2} = AB^{2} + CD^{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AC\bot BD:\]
\[⊿BOC,⊿COD,⊿DOA,\]
\[⊿AOB - прямоугольные.\]
\[2)AD^{2} = AO^{2} + OD^{2}\ \]
\[(по\ теореме\ Пифагора);\]
\[3)\ BC^{2} = BO^{2} + OC^{2}\ \]
\[(по\ теореме\ Пифагора);\]
\[4)\ AB^{2} = BO^{2} + AO^{2}\ \]
\[(по\ теореме\ Пифагора);\]
\[5)\ CD^{2} = CO^{2} + OD^{2}\ \]
\[(по\ теореме\ Пифагора);\]
\[6)\ AD^{2} + BC^{2} =\]
\[= AO^{2} + OD^{2} + BO^{2} + OC^{2} =\]
\[= \left( AO^{2} + BO^{2} \right) + \left( OC^{2} + OD^{2} \right) =\]
\[= AB^{2} + CD^{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]