\[\boxed{\mathbf{798.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[Пусть\ O_{1}\ и\ O_{2} - центры\ \]
\[окружностей\ радиусов\ \text{r\ }и\ R;\]
\[\text{A\ }и\ B - точки\ касания\ \]
\[окружности\ с\ общей\ внешней\ \]
\[касательной;\]
\[C\ и\ D - точки\ касания\ \]
\[окружностей\ с\ общей\ \]
\[внутренней\ касательной;\]
\[d - расстояние\ между\ \]
\[центрами\ окружностей.\]
\[\mathbf{а)}\]
\[Пусть\ P - основание\ \]
\[перпендикуляра,\ опущенного\ \]
\[из\ O_{1}\ на\ O_{2}\text{B.}\]
\[В\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ O_{1}PO_{2}:\]
\[O_{1}P = AB = \sqrt{O_{2}O_{1}^{2} - O_{2}P^{2}} =\]
\[= \sqrt{d^{2} - (R - r)^{2}}.\]
\[\mathbf{б)\ }\]
\[Пусть\ Q - основание\ \]
\[перпендикуляра,\ опущенного\ \]
\[из\ O_{1}\ на\ продолжение\ O_{2}D.\]
\[В\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ O_{1}QO_{2}:\]
\[O_{1}Q = CD = \sqrt{O_{1}O_{2}^{2} - O_{2}Q^{2}} =\]
\[= \sqrt{d^{2} - (R + r)^{2}}.\]
\[Ответ:\ \ \sqrt{d^{2} - (R - r)^{2}};\ \ \]
\[\sqrt{d^{2} - (R + r)^{2}}.\]