ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 819

\[\boxed{\mathbf{819.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - четырехугольник;\]

\[M;N;P;Q - точки\ касания\ \]

\[окружности\ со\ сторонами.\]

\[Доказать:\]

\[\angle AOD + \angle BOC =\]

\[= \angle AOB + \angle COD.\]

\[Доказательство.\]

\[Центр\ окружности,\ вписанной\ \]

\[в\ четырехугольник - это\ \]

\[точка\ пересечения\ биссектрис\ \]

\[внутренних\ углов\ этого\ \]

\[треугольника.\]

\[Пусть\ \angle MON = 2\alpha;\ \ \]

\[\angle NOP = 2\beta;\ \angle POQ = 2\gamma;\ \]

\[\angle QOM = 2\varphi.\]

\[Тогда:\]

\[\angle AOB = \alpha + \varphi;\]

\[\angle COD = \beta + \gamma;\]

\[\angle AOB + \angle COD =\]

\[= \alpha + \beta + \gamma + \varphi = \frac{1}{2} \cdot 360{^\circ} =\]

\[= 180{^\circ}.\]

\[Аналогично\ получаем:\]

\[\angle AOD + \angle BOC = 180{^\circ}.\]

\[Следовательно:\]

\[\angle AOD + \angle BOC =\]

\[= \angle AOB + \angle COD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]