\[\boxed{\mathbf{831.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[O = AC \cap BD.\]
\[P_{\text{AOB}} = P_{\text{BOC}} = P_{\text{COD}} = P_{\text{AOD}} = P.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ABCD - ромб.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ условию;\]
\[OA + OB + AB =\]
\[= OB + OC + BC;\]
\[OC + OD + CD =\]
\[= OD + OA + AD;\]
\[тогда:\]
\[AC + BD + AB + CD =\]
\[= AC + BD + BC + AD.\]
\[Значит:\]
\[AB + CD = BC + AD.\]
\[2)\ Суммы\ противоположных\ \]
\[сторон\ равны,\ как\ и\ разности\ \]
\[смежных\ сторон:\]
\[AB - BC = AD - CD.\]
\[3)\ Пусть\ AB > BC \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AD > CD;\ \ AO > OC:\]
\[Неравенство\ для\ сумм\ \]
\[периметров\]
\[P_{\text{AOB}} + P_{\text{AOD}} > P_{\text{BOC}} + P_{\text{COD}}\text{\ \ }\]
\[противоречит\ условию\ задачи.\]
\[4)\ Пусть\ AB < BC:\]
\[неравенство\ для\ сумм\ \]
\[периметров\ \ противоречит\ \]
\[условию;\]
\[P_{\text{AOB}} + P_{\text{AOD}} < P_{\text{BOC}} + P_{\text{COD}}.\]
\[Следовательно:\]
\[AB = BC;\ \ AD = CD.\]
\[5)\ Аналогично\ предыдущему,\ \]
\[из\ равенства\ AB - AD =\]
\[= BC - CD:\ \]
\[AB = AD;\ \ BC = CD.\]
\[Значит:\ \]
\[AB = BC = CD = AD.\]
\[6)\ \ ABCD - параллелограмм\]
\[\ (по\ третьему\ признаку):\]
\[AB = CD;BC = AD.\]
\[Если\ все\ стороны\ \]
\[параллелограмма\ равны,\ то\ \]
\[он\ ромб:\]
\[ABCD - ромб.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]