\[\boxed{\mathbf{855.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[O = AC \cap BD;\]
\[O \in MK;M \in AB;\]
\[K \in CD;KT \parallel AB;\]
\[T = KT \cap BD;\]
\[ME \parallel CD;\ \]
\[E = ME \cap AC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BE \parallel CT.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}KTO\sim\mathrm{\Delta}MBO -\]
\[по\ двум\ углам:\]
\[KTO\ и\ MBO:\]
\[KT \parallel AB;\ \ M \in AB;\]
\[BD - секущая \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle KTO = \angle MBO -\]
\[как\ накрест\ лежащие;\]
\[Следовательно:\ \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}}.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}KCO\sim\mathrm{\Delta}MEO -\]
\[по\ двум\ углам:\]
\[\angle KOC =\]
\[= \angle MOE\ (как\ вертикальные);\]
\[ME \parallel CD;\ \ K \in CD;\ \ \]
\[AC - секущая \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle KCO =\]
\[= \angle MEO\ (как\ накрест\ лежащие).\]
\[Отсюда:\ \ \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}}\text{.\ }\]
\[Вывод:две\ пары\ \]
\[треугольников\ подобны,\]
\[\ имеют\ один\ и\ тот\ же\ \]
\[коэффициент.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}COT\sim\mathrm{\Delta}EOB - по\ третьему\ \]
\[признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\]
\[\mathrm{\Delta}KTO\sim\mathrm{\Delta}MBO \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}};\ \ \frac{\text{NO}}{\text{BO}} = k;\]
\[\mathrm{\Delta}KCO\sim\mathrm{\Delta}MEO \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow k = \frac{\text{KO}}{\text{OM}};\ \frac{\text{CO}}{\text{EO}} = k;\]
\[\angle COT =\]
\[= \angle EOB\ (как\ вертикальные).\]
\[Следовательно:\ \ \]
\[\angle CTO = \angle EBO;\ \ так\ как\ \]
\[\text{BD} - секущая\ \ при\ \ \text{BE} \parallel \text{CT.}\ \]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]