\[\boxed{\mathbf{858.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]
\[BD - высота;\]
\[AK\bot AB;\ AK = DC;\]
\[CM\bot BC;CM = AD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BK = BM.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Две\ пары\ точек\ подходят\ \]
\[по\ условию\ задачи:\]
\[K_{1};K_{2}\ и\ \ M_{1};M_{2}.\]
\[В\ треугольнике\ K_{1}BK_{2}:\]
\[AB - это\ и\ медиана,\ и\ высота\]
\[\ (по\ построению).\]
\[Отсюда:\]
\[BK_{1} = BK_{2}.\]
\[2)\ Аналогично\ в\ треугольнике\]
\[\ M_{1}BM_{2}:\ \ \ \]
\[BM_{1} = BM_{2}.\]
\[3)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{AB}K_{1}\ и\ \ \text{BC}M_{1}:\]
\[BK_{1}^{2} = AK_{1}^{2} + AB^{2} =\]
\[= DC^{2} + AD^{2} + BD^{2};\]
\[BM_{1}^{2} = CM_{1}^{2} + BC^{2} =\]
\[= AD^{2} + DC^{2} + BD^{2}.\]
\[Получаем:\]
\[BK_{1} = BM_{1};\ \ \]
\[BK_{1} = BM_{1} = BK_{2} = BM_{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]