ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 869

\[\boxed{\mathbf{869.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[P = AC \cap BD;\]

\[\angle ADP = \frac{1}{2}\angle PDC;\]

\[\angle ADP = \frac{2}{3}\angle PAD;\]

\[AD = BD = CD.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[\angle A;\ \angle B;\ \angle C;\ \angle D.\]

\[Доказать:\]

\[AB² = BP \bullet BD.\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ Пусть\ \angle ADP = \alpha:\]

\[\angle PDC = 2\alpha;\]

\[\angle PAD = \frac{3}{2}\text{α.}\]

\[2)\ AD = BD = CD:\ \]

\[точки\ A,\ B,\ C,\ лежат\ \]

\[на\ окружности\ радиуса\ AD.\ \]

\[3)\ На\ дуге\ \ AB = \angle BDA =\]

\[= \text{α\ }вписан\ угол\ \angle ACB =\]

\[= \frac{1}{2}\ дуги\ AB = \frac{\alpha}{2}.\]

\[4)\ На\ дуге\ BC = \angle BDC =\]

\[= 2\alpha\ вписан\ угол\ \angle BAC =\]

\[= \frac{1}{2}\ дуги\ BC = \alpha.\]

\[5)\ Получаем:\]

\[\angle A = \angle BAC + \frac{3}{2}\alpha = \alpha + \frac{3}{2}\alpha =\]

\[= \frac{5}{2}\text{α.}\]

\[\angle D = \alpha + 2\alpha = 3\alpha.\]

\[\angle C = \angle ACB + \angle ACD =\]

\[= \frac{\alpha}{2} + \frac{3}{2}\alpha = 2\alpha.\]

\[\angle B = \angle A + \angle C = \frac{5}{2}\alpha + 2\alpha =\]

\[= \frac{9}{2}\text{α.}\]

\[6)\ Сумма\ углов\ \]

\[четырехугольника:\]

\[\frac{5}{2}\alpha + \frac{9}{2}\alpha + 2\alpha + 3\alpha = 360^{0}\text{\ \ }\]

\[12\alpha = 360^{0}\]

\[\alpha = 30^{0}.\]

\[7)\ Получаем:\]

\[\angle A = \frac{5}{2} \cdot 30^{0} = 75^{0};\ \ \]

\[\angle B = \frac{9}{2} \cdot 30^{0} = 135^{0};\]

\[\angle C = 2 \cdot 30^{0} = 60^{0};\ \ \ \]

\[\angle D = 3 \cdot 30^{0} = 90^{0}.\]

\[Ответ:\ \ \angle A = 75^{0},\ \angle B = 135^{0},\]

\[\ \angle C = 60^{0},\ \angle D = 90^{0}.\]

\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}DBA - по\ двум\ \]

\[углам:\]

\[\angle B - общий;\ \]

\[\angle BAP = \angle BDA = \alpha = 30^{0}.\]

\[Значит:\ \]

\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{BP}}{\text{AB}}\ \]

\[AB^{2} = BP \cdot BD.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]