ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 871

\[\boxed{\mathbf{871.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[AD \nparallel BC;AD > BC;\]

\[AB \nparallel CD;AB < CD;\]

\[M \in AB;AM = MB;\]

\[N \in CD;N = ND.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Относительно\ точки\ N\ \]

\[(как\ центра\ симметрии)\ \]

\[отобразим\ точку\ \text{A\ }и\ \]

\[получим\ A_{1}.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABA_{1}:\]

\[AM = MB;\ \ \]

\[AN = NA_{1};\ \ \]

\[тогда\ MN - средняя\ линия\ \]

\[этого\ треугольника;\]

\[A_{1}B = 2MN.\]

\[3)\ В\ треугольниках\ \text{ADN\ }и\ \]

\[A_{1}CN:\]

\[AN = NA_{1};\ \ \]

\[DN = NC;\]

\[\angle AND =\]

\[= \angle A_{1}NC\ (вертикальные\ углы).\]

\[По\ первому\ признаку\ \]

\[равенства\ треугольников:\ \]

\[\ \mathrm{\Delta}ADN = \mathrm{\Delta}A_{1}CN \Longrightarrow A_{1}C = AD.\]

\[4)\ Из\ треугольника\ \text{CB}A_{1},\]

\[\ по\ неравенству\ треугольника:\ \]

\[A_{1}B( = 2MN) <\]

\[< BC + A_{1}C( = AD)\]

\[2MN < AD + BC\ \]

\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]