ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 872

\[\boxed{\mathbf{872.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[M;N;P;Q - середины\ сторон;\]

\[MP + NQ =\]

\[= \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[ABCD - параллелограмм.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ стороны\ ABCD\ \]

\[попарно\ не\ параллельны\ \]

\[(см.\ №858):\]

\[MP < \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]

\[NQ < \frac{AB + CD}{2}.\]

\[Значит:\]

\[MP + NQ \leq\]

\[\leq \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]

\[Что\ противоречит\ условию.\]

\[2)\ Допустим,\ что\ AD \nparallel BC,\ но\]

\[\ AB \parallel CD:\ \]

\[MP \leq \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]

\[NQ = \frac{AB + CD}{2};\]

\[MP + NQ \leq\]

\[\leq \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]

\[Равенство\ выполняется,\ но\ \]

\[только\ иногда.\]

\[3)\ При\ AD \parallel BC\ и\ AB \parallel CD:\]

\[MP = \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]

\[NQ = \frac{AB + CD}{2};\]

\[MP + NQ =\]

\[= \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]

\[Равенство\ всегда\ выполняется,\ \]

\[если\ стороны\ попарно\ \]

\[параллельны:\]

\[ABCD - параллеграмм.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]