ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 877

\(\boxed{\mathbf{877.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\)

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[D,\ E,\ F - середины\ высот\ \]

\[и\ лежат\ на\ одной\ прямой.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[⊿ABC - прямоугольный.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Докажем\ обратное\ \]

\[утверждение:\ только\ \]

\[в\ прямоугольном\ \ \]

\[треугольнике\ середины\ высот\ \]

\[лежат\ на\ одной\ прямой.\]

\[Треугольник\ \text{ABC} -\]

\[прямоугольный;\ \ \angle C = \ 90{^\circ}.\]

\[Докажем,\ что\ середины\ его\ \]

\[высот\ лежат\ на\ одной\ прямой.\ \]

\[Катеты\ прямоугольного\ \]

\[треугольника\ являются\ двумя\ \]

\[его\ \ высотами,\ отметим\ их\ \]

\[середины:\ \]

\[\text{AD}\ = \ \text{DC},\ \text{CE} = \ \text{EB.}\ \]

\[2)\ Проведем\ третью\ высоту\ к\ \]

\[гипотенузе\ CH\bot AB\ и\ \]

\[отметим\ \ её\ середину\ \]

\[\text{CF}\ = \ \text{FH}.\]

\[3)\ По\ построению\ DE - \ \]

\[средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\]

\[геометрическое\ место\ середин\ \]

\[всех\ отрезков,\ соединяющих\]

\[вершину\ \text{C\ }с\ любой\ точкой\ на\ \]

\[гипотенузе\ AB \Longrightarrow \ F \in DE.\]

\[4)\ Рассмотрим\ \]

\[не\ прямоугольный\ \]

\[треугольник\ ABC.\]

\[Середины\ его\ высот\ \]

\[принадлежат\ трем\ различным\ \]

\[средним\ линиям.\ \]

\[По\ доказанному\ в\ задаче\ 863,\ \]

\[они\ \ не\ лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[Таким\ образом,\ только\ \]

\[в\ прямоугольном\ \]

\[треугольнике\ середины\ \]

\[высот\ лежат\ на\ одной\ прямой.\ \]

\[5)\ Перейдем\ к\ доказательству\ \]

\[прямого\ утверждения.\ \]

\[Дано:\ середины\ высот\ лежат\ \]

\[на\ одной\ прямой.\]

\[Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\ \]

\[не\ прямоугольный,\ тогда,\ как\ \]

\[было\ показано\ выше,\ \]

\[середины\ высот\ не\ лежат\ \]

\[на\ одной\ прямой.\ \]

\[Но\ это\ противоречит\ условию.\]

\[Значит,\ наше\ допущение\ \]

\[неверно:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC\ - \ прямоугольный.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]