\[\boxed{\mathbf{895.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ BC = a;\ \ AC = b.\]
\[Введем\ систему\ координат\ \]
\[с\ началом\ в\ точке\ C\ (0;0);\]
\[координаты\ других\ точек:\]
\[A(0;b);B(a;0);K( - b;b);\ \]
\[\text{\ E}(a; - a).\]
\[CB_{1} = CA_{1} = \frac{\text{ab}}{a + b};то:\]
\[A_{1}\left( \frac{\text{ab}}{a + b};0 \right);\ \ B_{1}\left( 0;\frac{\text{ab}}{a + b} \right).\]
\[Запишем\ уравнение\ прямых\ \]
\[\text{BK\ }и\ \text{AE.}\]
\[Прямая\ BK\ проходит\ через\ \]
\[точки\ B(a;0);K( - b;b):\]
\[y = - \frac{b}{a + b}x + \frac{\text{ab}}{a + b}.\]
\[Прямая\ AE\ проходит\ через\ \]
\[точки\ A(0;b);\ \ E(a; - a):\]
\[y = - \frac{b(a + b)}{\text{ab}}x + b =\]
\[= - \frac{a + b}{a}x + b.\]
\[H - точка\ пересечения\ \]
\[данных\ прямых;найдем\ ее\ \]
\[кординаты:\]
\[\left\{ \begin{matrix} - \frac{b}{a + b}x + \frac{\text{ab}}{a + b} = - \frac{a + b}{a}x + b \\ y = - \frac{\text{bx}}{a + b} + \frac{\text{ab}}{a + b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Отсюда:\]
\[x = \frac{ab^{2}}{a^{2} + ab + b^{2}};\ \ \ \]
\[y = \frac{a²b}{a^{2} + ab + b^{2}}.\]
\[Найдем\ скалярное\ \]
\[произведение\ векторов:\]
\[\overrightarrow{\text{AB}}(a; - b);\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{CH}}\left( \frac{ab^{2}}{a^{2} + ab + b^{2}};\ \frac{a^{2}b}{a^{2} + ab + b^{2}} \right).\]
\[\overrightarrow{\text{AB}}\bot\overrightarrow{\text{CH}}:\]
\[точка\ \text{H\ }лежит\ на\ высоте\ \text{CH\ }\]
\[треугольника\ ABC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \]