ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 896

\[\boxed{\mathbf{896.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ AA_{1};BB_{1};\ \ CC_{1}\ \]

\[пересекаются\ в\ точке\ \text{T.}\]

\[Тогда\ справедливо\ равенство:\]

\[\frac{\text{BT}}{TB_{1}} = \frac{BA_{1}}{A_{1}C} + \frac{BC_{1}}{C_{1}A}.\]

\[Запишем\ теорему\ Менелая\ \]

\[для\ треугольника\ ABB_{1}\ и\ \]

\[секущей\ CC_{1}:\]

\[\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}C}{\text{CA}} = 1.\]

\[Отсюда\ следует:\]

\[\frac{C_{1}B}{AC_{1}} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}C}{\text{CA}}\text{\ \ \ }(1).\]

\[Запишем\ теорему\ Менелая\ \]

\[для\ треугольника\ BB_{1}\text{C\ }и\ \]

\[секущей\ A_{1}A:\]

\[\frac{CA_{1}}{BA_{1}} \cdot \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}A}{\text{AC}} = 1.\]

\[Отсюда\ следует:\]

\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}A}{\text{AC}}\text{\ \ \ \ }(2).\]

\[Сложив\ равенства\ (1)\ и\ (2)\ \]

\[получим:\]

\[\frac{C_{1}B}{AC_{1}} + \frac{BA_{1}}{A_{1}C} =\]

\[= \frac{\text{BT}}{TB_{1}}\left( \frac{B_{1}A}{\text{AC}} + \frac{B_{1}C}{\text{CA}} \right) =\]

\[= \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AC}} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}}.\]

\[Следовательно:\]

\[\frac{\text{BT}}{TB_{1}} = \frac{C_{1}B}{AC_{1}} + \frac{BA_{1}}{A_{1}C}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]