ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 904

\[\boxed{\mathbf{904.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[Окружность\ (O;R);\]

\[OA = R;\]

\[BD - касатель;\]

\[OB\bot BD;\]

\[AD\bot BD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\frac{AB^{2}}{\text{AD}} = const.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ \text{A\ }не\ лежит\ \]

\[на\ диаметре,\ проведем\ \]

\[диаметр\ \text{BC.}\ \]

\[2)\ \angle ABD = \frac{1}{2} \cup AB = \angle ACB.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}BAC - прямоугольный,\ \]

\[так\ как\ \angle\text{CAB\ }опирается\ \]

\[на\ диаметр:\]

\[\angle A = 90{^\circ};\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}BAC -\]

\[прямоугольные;\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ADB\sim\mathrm{\Delta}BAC\ (по\ двум\ углам):\]

\[\angle ABD = \angle BCA.\ \]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{AD}}{\text{AB}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}\]

\[\frac{AB^{2}}{\text{AD}} = BC = 2r.\]

\[5)\ A\ лежит\ на\ диаметре \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AD = AB = 2r:\]

\[\frac{AB^{2}}{\text{AD}} = 2r.\]

\[6)\ \frac{AB^{2}}{\text{AD}} = 2r \Longrightarrow \ постоянно\ \]

\[равно\ диаметру.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]