\[\boxed{\mathbf{910.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BD - биссекриса.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - AD \bullet DC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ описанную\ \]
\[вокруг\ \mathrm{\Delta}ABC\ \]
\[окружность\ (O;R).\]
\[2)\ Продолжим\ луч\ \text{BD}\]
\[\ и\ найдем\ точку\ пересечения\ \]
\[K = (O;R) \cap BD.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABK\sim\mathrm{\Delta}BDC - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle ABK =\]
\[= \angle DBC\ (BD - биссектриса);\ \]
\[\angle AKB = \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{BK}}{\text{BC}}.\]
\[4)\ BD \bullet BK = AB \bullet BC\]
\[BD \bullet (BD + DK) = AB \bullet BC\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - BD \bullet DK.\]
\[5)\ По\ свойству\ \]
\[пересекающихся\ хорд:\]
\[BD \bullet DK = AD \bullet DC\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - AD \bullet DC.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]