\[\boxed{\mathbf{914.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - вписанный\ \]
\[четырехугольник;\]
\[AC\bot BD.\]
\[Доказать:\]
\[AB^{2} + CD^{2} = d^{2}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Проведем\ через\ точку\ M\ \]
\[пересечения\ биссектрис\ \]
\[прямую,\ параллельную\ AB,\ \]
\[отметим\ точки\ \text{E\ }и\ \text{F\ }\]
\[на\ пересечении\ данной\]
\[прямой\ и\ прямых\ \text{AD\ }и\ \text{BC.}\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{DEM\ }и\ \mathrm{\Delta}CFM:\]
\[EF \parallel AB;\]
\[\angle A + \angle E =\]
\[= 180{^\circ}\ (как\ односторонние).\]
\[Отсюда:\]
\[\angle E = \angle C;\]
\[\mathrm{\Delta}DEM\sim\ \mathrm{\Delta}\text{CFM.}\]
\[3)\ Точка\ M - точка\ \]
\[пересечения\ биссектрис:\]
\[она\ равноудалена\ от\ прямых\ \]
\[\text{AB\ }и\ AD,\ а\ также\ от\ прямых\ \ \]
\[\text{AB\ }и\ \text{BC.}\]
\[Следовательно,\ она\ \]
\[равноудалена\ от\ прямых\ \]
\[\text{AD\ }и\ \text{BC.}\]
\[Отсюда:\ \]
\[высоты\ \mathrm{\Delta}\text{DEM\ }и\ \mathrm{\Delta}CFM;\]
\[проведенные\ из\ вершины\ M\ \]
\[равны.\]
\[Значит:\ \]
\[\mathrm{\Delta}DEM = \mathrm{\Delta}CFM;\]
\[CF = ED.\]
\[в\ \mathrm{\Delta}AEM:\ \ \]
\[\angle A = \angle M;\]
\[AE = EM.\]
\[Аналогично:\ BF = FM.\]
\[5)\ Таким\ образом:\ \]
\[CD = DM + MC = FM + EM =\]
\[= BF + AE = BC + AD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]