ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 919

\[\boxed{\mathbf{919.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\ \]

\[D - произвольная\ точка\ \]

\[окружности\ описанной\ около\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[DE\bot AB;\]

\[DG\bot CB;\]

\[DF\bot AC.\]

\[Доказать:\]

\[E,F,G - лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ \]

\[четырехугольник\ AEFD:\]

\[\angle AED + \angle AFD = 180{^\circ} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow вокруг\ него\ можно\ описать\ \]

\[окружность \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ \angle AFE = \angle ADE.\]

\[2)\ Рассмотим\ \]

\[четырехугольник\ DFCG:\]

\[\angle DFC + \angle DGC = 180{^\circ} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow вокруг\ него\ можно\ описать\ \]

\[окружность \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \angle CFG = \angle CDG.\]

\[3)\ ABCD - вписанный:\]

\[\angle BAD = \angle DCB = 180{^\circ}.\]

\[5)\ \angle EAD = \angle BAD =\]

\[= 180{^\circ} - \angle DCB = \angle DCG.\]

\[6)\ 90{^\circ} - \angle CFG = 90{^\circ} - \angle CDG =\]

\[= \angle DCG = \angle EAD =\]

\[= 90{^\circ} - \angle ADE = 90{^\circ} - \angle AFE.\]

\[Таким\ образом:\ \]

\[\angle CFG = \angle AFE \Longrightarrow \ точки\ E,F\ и\ \]

\[G - лежат\ на\ одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]