7.1.46. [МГТУ) Из точки А, лежащей на окружности, выходят одновре- менно два тела, движущиеся равномерно по этой окружности в проти- воположных направлениях. Через некоторое время они встретились, и оказалось, что первое тело прошло на 10 см больше второго. После встре чи тела продолжали путь, причем первое тело пришло в точку А через 9с, а второе - через 16 с после встречи. Найдите длину окружности, по которой двигались тела.

Решение:

Пусть v1 - скорость первого тела, v2 - скорость второго тела, S - длина окружности.

До встречи первое тело прошло расстояние v1*t, а второе - v2*t, где t - время до встречи.

По условию, первое тело прошло на 10 см больше второго, значит:

$$v_1t - v_2t = 10$$

$$(v_1 - v_2)t = 10$$

После встречи первое тело пришло в точку А через 9 с, значит, оно прошло расстояние v1*9, которое равно расстоянию, которое второе тело прошло до встречи, то есть v2*t:

$$v_1 \cdot 9 = v_2t$$

Аналогично, второе тело пришло в точку А через 16 с, значит, оно прошло расстояние v2*16, которое равно расстоянию, которое первое тело прошло до встречи, то есть v1*t:

$$v_2 \cdot 16 = v_1t$$

Также известно, что сумма расстояний, пройденных обоими телами до встречи, равна длине окружности S:

$$v_1t + v_2t = S$$

$$(v_1 + v_2)t = S$$

Выразим v1 и v2 из уравнений:

$$v_1 = \frac{v_2t}{9}$$ $$v_2 = \frac{v_1t}{16}$$

Подставим выражение для v2 в первое уравнение:

$$(v_1 - \frac{v_1t}{16})t = 10$$

$$v_1(1 - \frac{t}{16})t = 10$$

Теперь выразим v1 через v2:

$$v_2 = \frac{v_2t \cdot t}{9 \cdot 16}$$ $$1 = \frac{t^2}{9 \cdot 16}$$ $$t^2 = 9 \cdot 16 = 144$$

$$t = \sqrt{144} = 12 \text{ c}$$

Теперь найдем скорости v1 и v2:

$$v_1 = \frac{v_2 \cdot 12}{9} = \frac{4}{3}v_2$$ $$v_2 = \frac{v_1 \cdot 12}{16} = \frac{3}{4}v_1$$

Подставим t = 12 в уравнение (v1 - v2)t = 10:

$$(v_1 - v_2) \cdot 12 = 10$$ $$v_1 - v_2 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$

Заменим v1 на (4/3)v2:

$$\frac{4}{3}v_2 - v_2 = \frac{5}{6}$$ $$\frac{1}{3}v_2 = \frac{5}{6}$$ $$v_2 = \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см/с}$$ $$v_1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{3} \text{ см/с}$$

Теперь найдем длину окружности S:

$$S = (v_1 + v_2)t = (\frac{10}{3} + \frac{5}{2}) \cdot 12 = (\frac{20 + 15}{6}) \cdot 12 = \frac{35}{6} \cdot 12 = 35 \cdot 2 = 70 \text{ см}$$

Ответ: 70 см