7.1.27. [МГУ, биолог. ф-т) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость лег- кового автомобиля постоянна и составляет \(\frac{6}{5}\) скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со ско- ростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой авто- мобиль.

Решение задачи:

Пусть скорость грузовика равна $$v$$ км/ч, тогда скорость легкового автомобиля \(\frac{6}{5}v\) км/ч. Мотоциклист выехал на 0.5 часа позже. Пусть мотоциклист догнал грузовик через $$t$$ часов после своего выезда, тогда мотоциклист догнал легковой автомобиль через $$t + 1$$ часов после своего выезда. За время $$t + 0.5$$ часов грузовик проехал расстояние $$v(t + 0.5)$$, а мотоциклист за время $$t$$ часов проехал расстояние $$90t$$. Следовательно, $$v(t + 0.5) = 90t$$.

За время $$t + 1 + 0.5 = t + 1.5$$ часов легковой автомобиль проехал расстояние $$\frac{6}{5}v(t + 1.5)$$, а мотоциклист за время $$t + 1$$ часов проехал расстояние $$90(t + 1)$$. Следовательно, $$\frac{6}{5}v(t + 1.5) = 90(t + 1)$$.

Имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} v(t + 0.5) = 90t \\ \frac{6}{5}v(t + 1.5) = 90(t + 1) \end{cases}$$

Выразим $$v$$ из первого уравнения: $$v = \frac{90t}{t + 0.5}$$. Подставим во второе уравнение: $$\frac{6}{5} \cdot \frac{90t}{t + 0.5} (t + 1.5) = 90(t + 1)$$.

Разделим обе части на 90: $$\frac{6}{5} \cdot \frac{t(t + 1.5)}{t + 0.5} = t + 1$$.

Умножим обе части на $$5(t + 0.5)$$: $$6t(t + 1.5) = 5(t + 1)(t + 0.5)$$.

$$6t^2 + 9t = 5(t^2 + 1.5t + 0.5)$$.

$$6t^2 + 9t = 5t^2 + 7.5t + 2.5$$.

$$t^2 + 1.5t - 2.5 = 0$$.

Умножим на 2: $$2t^2 + 3t - 5 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$.

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ (не подходит, так как время не может быть отрицательным).

Тогда $$t = 1$$ час. Найдем скорость грузовика: $$v = \frac{90 \cdot 1}{1 + 0.5} = \frac{90}{1.5} = 60$$ км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля: $$\frac{6}{5} \cdot 60 = 72$$ км/ч.

Ответ: 72