4 [Задание 16.2] Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \frac{5}{13}. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Задача:

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{5}{13}\). Диаметр описанной окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Пошаговое решение:

1. Определим радиус описанной окружности. Так как диаметр равен 26, радиус \(R = \frac{26}{2} = 13\).
2. Пусть стороны прямоугольника будут a и b, а диагональ d. Тогда \(d = 2R = 26\).
3. Синус угла между стороной a и диагональю равен \(\frac{b}{d} = \frac{5}{13}\). Отсюда \(b = \frac{5}{13} \cdot d = \frac{5}{13} \cdot 26 = 10\).
4. Теперь найдем сторону a, используя теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = d^2\), следовательно, \(a^2 = d^2 - b^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576\).
5. Тогда \(a = \sqrt{576} = 24\).
6. Площадь прямоугольника равна \(S = a \cdot b = 24 \cdot 10 = 240\).

Ответ: 240