4 [Задание 16.2) Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \frac{5}{13}. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пошаговое решение:

• Пусть прямоугольник ABCD, O – центр описанной окружности, AC – диагональ. Тогда AC = 26 (диаметр).
• \(\sin \angle BAC = \frac{5}{13}\)
• Пусть BC = x, AB = y. Тогда \(\sin \angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{26}\)
• \(\frac{x}{26} = \frac{5}{13}\)
• \(x = \frac{5 \cdot 26}{13} = 10\)
• По теореме Пифагора, \(y = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\)
• Площадь прямоугольника \(S = x \cdot y = 10 \cdot 24 = 240\)

Ответ: 240