Решение примера 2.1

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, используя свойства степеней.

1. Разложим числа на простые множители:
• \(4 = 2^2\)
• \(12 = 2^2 \cdot 3\)
• \(9 = 3^2\)
• \(6 = 2 \cdot 3\)
2. Подставим разложения в исходное выражение:

\(\frac{3^2 \cdot (2^2)^3 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(3^2)^2 \cdot (2 \cdot 3)^3} = \frac{3^2 \cdot 2^6 \cdot 2^4 \cdot 3^2}{3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3}\)

3. Упростим, используя свойства степеней (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)):

\(\frac{3^{2+2} \cdot 2^{6+4}}{3^{4+3} \cdot 2^3} = \frac{3^4 \cdot 2^{10}}{3^7 \cdot 2^3} = 3^{4-7} \cdot 2^{10-3} = 3^{-3} \cdot 2^7\)

4. Вычислим:

\(3^{-3} \cdot 2^7 = \frac{1}{3^3} \cdot 2^7 = \frac{1}{27} \cdot 128 = \frac{128}{27}\)

Ответ: \(\frac{128}{27}\)