5) \(\frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2x^2 + 2x - 6} = 1\); 6) \(\frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6x}{x^2 - x} = 5\); 7) \(\frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x}\); 8) \(\frac{8}{x^2 - 6x + 12} - x^2 + 6x = 10\).

Решаем уравнения:

<h3>Решение (RU):</h3>

1. $$ \frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2x^2 + 2x - 6} = 1 $$ $$ \frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2(x^2 + x - 3)} = 1 $$ Пусть $$ t = x^2 + x - 3 $$, тогда уравнение принимает вид: $$ \frac{t}{2} - \frac{3}{2t} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $$ 2t $$: $$ t^2 - 3 = 2t $$ $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ Решаем квадратное уравнение: $$ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 $$ $$ t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ Возвращаемся к замене: $$ x^2 + x - 3 = 3 $$ $$ x^2 + x - 6 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $$ $$ x^2 + x - 3 = -1 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x_3 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $$ $$ x_4 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 $$
2. $$ \frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6x}{x^2 - x} = 5 $$ $$ \frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6x}{x(x - 1)} = 5 $$ $$ \frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6}{x - 1} = 5 $$ Умножим обе части уравнения на $$ x(x - 1) $$, где $$ x
   eq 0 $$ и $$ x
   eq 1 $$: $$ (x^2 - x - 1)(x - 1) - 6x = 5x(x - 1) $$ $$ x^3 - x^2 - x - x^2 + x + 1 - 6x = 5x^2 - 5x $$ $$ x^3 - 2x^2 - 6x + 1 = 5x^2 - 5x $$ $$ x^3 - 7x^2 - x + 1 = 0 $$
3. $$ \frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x} $$ Пусть $$ t = x^2 - 3x $$, тогда уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{t + 3} + \frac{2}{t + 4} = \frac{6}{t} $$ Умножим обе части уравнения на $$ t(t + 3)(t + 4) $$, где $$ t
   eq 0 $$, $$ t
   eq -3 $$ и $$ t
   eq -4 $$: $$ t(t + 4) + 2t(t + 3) = 6(t + 3)(t + 4) $$ $$ t^2 + 4t + 2t^2 + 6t = 6(t^2 + 7t + 12) $$ $$ 3t^2 + 10t = 6t^2 + 42t + 72 $$ $$ 3t^2 + 32t + 72 = 0 $$ $$ D = 32^2 - 4(3)(72) = 1024 - 864 = 160 $$ $$ t_1 = \frac{-32 + \sqrt{160}}{6} = \frac{-32 + 4\sqrt{10}}{6} = \frac{-16 + 2\sqrt{10}}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-32 - \sqrt{160}}{6} = \frac{-32 - 4\sqrt{10}}{6} = \frac{-16 - 2\sqrt{10}}{3} $$ Возвращаемся к замене: $$ x^2 - 3x = \frac{-16 + 2\sqrt{10}}{3} $$ $$ 3x^2 - 9x + 16 - 2\sqrt{10} = 0 $$ $$ x^2 - 3x = \frac{-16 - 2\sqrt{10}}{3} $$ $$ 3x^2 - 9x + 16 + 2\sqrt{10} = 0 $$
4. $$ \frac{8}{x^2 - 6x + 12} - x^2 + 6x = 10 $$ $$ \frac{8}{x^2 - 6x + 12} - (x^2 - 6x) = 10 $$ Пусть $$ t = x^2 - 6x $$, тогда уравнение принимает вид: $$ \frac{8}{t + 12} - t = 10 $$ Умножим обе части уравнения на $$ t + 12 $$, где $$ t
   eq -12 $$: $$ 8 - t(t + 12) = 10(t + 12) $$ $$ 8 - t^2 - 12t = 10t + 120 $$ $$ t^2 + 22t + 112 = 0 $$ $$ D = 22^2 - 4(1)(112) = 484 - 448 = 36 $$ $$ t_1 = \frac{-22 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-22 + 6}{2} = -8 $$ $$ t_2 = \frac{-22 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-22 - 6}{2} = -14 $$ Возвращаемся к замене: $$ x^2 - 6x = -8 $$ $$ x^2 - 6x + 8 = 0 $$ $$ D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 $$ $$ x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 $$ $$ x^2 - 6x = -14 $$ $$ x^2 - 6x + 14 = 0 $$ $$ D = (-6)^2 - 4(1)(14) = 36 - 56 = -20 $$ Действительных корней нет.

<strong>Ответ:</strong> 1) x = 2, -3, 1, -2; 4) x = 4, 2