1. \(\frac{x + 4}{x + 1} - \frac{10}{x^2 - 1} = 8\); 2. \(\frac{x + 1}{x - 3} + \frac{12}{x + 3} = \frac{24}{x^2 - 9}\); 3. \(\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x - 7}{2 - x} = \frac{20}{x^2 - 4}\); 4. \(\frac{x + 5}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{21}{(x - 2)(x + 1)}\)

Привет! Сейчас решим эти уравнения. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

1. \(\frac{x + 4}{x + 1} - \frac{10}{x^2 - 1} = 8\)

Сначала преобразуем уравнение, учитывая, что \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Общий знаменатель: \((x - 1)(x + 1)\). Домножаем числители на соответствующие множители:

\[\frac{(x + 4)(x - 1) - 10}{(x + 1)(x - 1)} = 8\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 + 4x - x - 4 - 10}{x^2 - 1} = 8\] \[\frac{x^2 + 3x - 14}{x^2 - 1} = 8\]

Умножаем обе части на \(x^2 - 1\):

\[x^2 + 3x - 14 = 8(x^2 - 1)\] \[x^2 + 3x - 14 = 8x^2 - 8\]

Переносим все в правую часть:

\[0 = 7x^2 - 3x + 6\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 6 = 9 - 168 = -159\). Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Нет действительных решений

2. \(\frac{x + 1}{x - 3} + \frac{12}{x + 3} = \frac{24}{x^2 - 9}\)

Учитываем, что \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Общий знаменатель: \((x - 3)(x + 3)\). Домножаем числители на соответствующие множители:

\[\frac{(x + 1)(x + 3) + 12(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{24}{x^2 - 9}\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 + x + 3x + 3 + 12x - 36}{x^2 - 9} = \frac{24}{x^2 - 9}\] \[\frac{x^2 + 16x - 33}{x^2 - 9} = \frac{24}{x^2 - 9}\]

Умножаем обе части на \(x^2 - 9\):

\[x^2 + 16x - 33 = 24\] \[x^2 + 16x - 57 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-57) = 256 + 228 = 484\). Корни: \(x = \frac{-16 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-16 \pm 22}{2}\).

Первый корень: \(x_1 = \frac{-16 + 22}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Второй корень: \(x_2 = \frac{-16 - 22}{2} = \frac{-38}{2} = -19\).

Но нужно исключить \(x = 3\) и \(x = -3\), так как они делают знаменатель равным нулю. Поэтому остается только \(x = -19\).

Ответ: x = -19

3. \(\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x - 7}{2 - x} = \frac{20}{x^2 - 4}\)

Преобразуем уравнение, учитывая, что \(2 - x = -(x - 2)\) и \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Тогда уравнение принимает вид:

\[\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{x - 7}{x - 2} = \frac{20}{(x - 2)(x + 2)}\]

Общий знаменатель: \((x - 2)(x + 2)\). Домножаем числители на соответствующие множители:

\[\frac{(x - 3)(x - 2) - (x - 7)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{20}{x^2 - 4}\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 - 3x - 2x + 6 - (x^2 - 7x + 2x - 14)}{x^2 - 4} = \frac{20}{x^2 - 4}\] \[\frac{x^2 - 5x + 6 - x^2 + 5x + 14}{x^2 - 4} = \frac{20}{x^2 - 4}\] \[\frac{20}{x^2 - 4} = \frac{20}{x^2 - 4}\]

Это тождество выполняется при всех \(x\), кроме \(x = 2\) и \(x = -2\), так как они делают знаменатель равным нулю.

Ответ: x \(\in\) \((-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\)

4. \(\frac{x + 5}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{21}{(x - 2)(x + 1)}\)

Общий знаменатель: \((x - 2)(x + 1)\). Домножаем числители на соответствующие множители:

\[\frac{(x + 5)(x + 1) + (x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{21}{(x - 2)(x + 1)}\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 + 5x + x + 5 + x^2 - 2x - 2x + 4}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{21}{(x - 2)(x + 1)}\] \[\frac{2x^2 + 2x + 9}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{21}{(x - 2)(x + 1)}\]

Умножаем обе части на \((x - 2)(x + 1)\):

\[2x^2 + 2x + 9 = 21\] \[2x^2 + 2x - 12 = 0\]

Делим на 2:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\).

Первый корень: \(x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Второй корень: \(x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

Но нужно исключить \(x = 2\), так как он делает знаменатель равным нулю. Поэтому остается только \(x = -3\).

Ответ: x = -3

Молодец! Ты отлично справился с решением этих уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!