190*. \(\frac{x-4}{3x+9} \geqslant 0.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup [4; +\infty)\)

1. Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя

• Нуль числителя: \[x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\]
• Нуль знаменателя: \[3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3\]

2. Шаг 2: Отметим нули на числовой прямой

(-∞)-----(-3)+++++(4)----(+∞)
x-4         -     |   -   0  +
3x+9         -  0  +     +     +
(x-4)/(3x+9) +  ||  -   0  +

3. Шаг 3: Определим знаки на интервалах

• Интервал \((-\infty; -3)\): Выбираем \(x = -4\). Тогда \(\frac{-4-4}{3(-4)+9} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} > 0\). Знак: +
• Интервал \((-3; 4)\): Выбираем \(x = 0\). Тогда \(\frac{0-4}{3(0)+9} = \frac{-4}{9} < 0\). Знак: -
• Интервал \((4; +\infty)\): Выбираем \(x = 5\). Тогда \(\frac{5-4}{3(5)+9} = \frac{1}{24} > 0\). Знак: +

4. Шаг 4: Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю

• Выражение больше или равно нулю на интервалах \((-\infty; -3)\) и \([4; +\infty)\).
• Точка \(x = 4\) включается, так как неравенство нестрогое, а точка \(x = -3\) исключается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup [4; +\infty)\)