6) \(\frac{2x-7}{x-4} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{x+6}{(x-4)(x+1)}\);

Давай решим это уравнение по шагам. Сначала перенесем все члены в левую часть: \[\frac{2x-7}{x-4} - \frac{x+2}{x+1} - \frac{x+6}{(x-4)(x+1)} = 0\] Теперь приведем все дроби к общему знаменателю \((x-4)(x+1)\): \[\frac{(2x-7)(x+1)}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+2)(x-4)}{(x-4)(x+1)} - \frac{x+6}{(x-4)(x+1)} = 0\] Раскроем скобки в числителях: \[\frac{(2x^2 + 2x - 7x - 7) - (x^2 - 4x + 2x - 8) - (x+6)}{(x-4)(x+1)} = 0\] \[\frac{2x^2 - 5x - 7 - (x^2 - 2x - 8) - x - 6}{(x-4)(x+1)} = 0\] Упростим числитель: \[\frac{2x^2 - 5x - 7 - x^2 + 2x + 8 - x - 6}{(x-4)(x+1)} = 0\] \[\frac{x^2 - 4x - 5}{(x-4)(x+1)} = 0\] Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: \[x^2 - 4x - 5 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 + 6}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 - 6}{2} = -1\] Однако, нужно проверить, не обращают ли эти корни знаменатель в ноль. Если \(x = 5\), то знаменатель не равен нулю. Если \(x = -1\), то знаменатель \(x+1\) обращается в ноль, поэтому \(x = -1\) является посторонним корнем. \[x = 5\]

Ответ: 5