6) \(\frac{x+4x}{2-3x}: \frac{x^{2}+9x+14}{2-3x}\)

Для решения данного примера необходимо выполнить деление дробей.

Для этого необходимо:

1. Первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
2. Выполнить сокращение дробей.

Решение:

1. Упростим числитель первой дроби:

$$x+4x = 5x$$

Выражение примет вид:

$$\frac{5x}{2-3x}: \frac{x^{2}+9x+14}{2-3x}$$

2. Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:

$$\frac{5x}{2-3x} \cdot \frac{2-3x}{x^{2}+9x+14}$$

3. Сократим \((2-3x)\) в числителе и знаменателе:

$$\frac{5x}{1} \cdot \frac{1}{x^{2}+9x+14}$$ $$\frac{5x}{x^{2}+9x+14}$$

4. Разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение:

$$x^{2}+9x+14=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$$ $$x_{1} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_{2} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Тогда:

$$x^{2}+9x+14 = (x+2)(x+7)$$

Выражение примет вид:

$$\frac{5x}{(x+2)(x+7)}$$

Ответ: \(\frac{5x}{(x+2)(x+7)}\)