9) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x}}\);

• Шаг 1: Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:

\(x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 - 9 = (x-3)^2 - 9\)

• Шаг 2: Запишем интеграл с преобразованным подкоренным выражением:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^2 - 9}} \)

• Шаг 3: Сделаем замену переменной:

Пусть \(u = x - 3\), тогда \(du = dx\). Интеграл примет вид:

\(\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 9}} \)

• Шаг 4: Используем табличный интеграл:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)

В нашем случае, \(a = 3\). Получаем:

\(\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 9}} = \ln |u + \sqrt{u^2 - 9}| + C\)

• Шаг 5: Вернемся к исходной переменной:

Заменим \(u\) на \(x - 3\):

\(\ln |x - 3 + \sqrt{(x - 3)^2 - 9}| + C\)

• Шаг 6: Упростим выражение под корнем:

\((x - 3)^2 - 9 = x^2 - 6x + 9 - 9 = x^2 - 6x\)

Окончательно получаем:

\(\ln |x-3 + \sqrt{x^2-6x}| + C\)