7. \(\int x^3sinxdx\).

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Пусть \(u = x^3\) и \(dv = sinx dx\). Тогда \(du = 3x^2 dx\) и \(v = -cosx\).
2. Используем формулу интегрирования по частям: \(\int udv = uv - \int vdu\).
   \(\int x^3 sinx dx = -x^3 cosx - \int (-cosx)(3x^2) dx = -x^3 cosx + 3 \int x^2 cosx dx\).
3. Снова интегрируем по частям интеграл \(\int x^2 cosx dx\). Пусть \(u = x^2\) и \(dv = cosx dx\). Тогда \(du = 2x dx\) и \(v = sinx\).
   \(\int x^2 cosx dx = x^2 sinx - \int sinx (2x) dx = x^2 sinx - 2 \int x sinx dx\).
4. Снова интегрируем по частям интеграл \(\int x sinx dx\). Пусть \(u = x\) и \(dv = sinx dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = -cosx\).
   \(\int x sinx dx = -x cosx - \int (-cosx) dx = -x cosx + \int cosx dx = -x cosx + sinx + C\).
5. Подставляем результаты обратно:
   \(\int x^2 cosx dx = x^2 sinx - 2(-x cosx + sinx) = x^2 sinx + 2x cosx - 2 sinx\).
6. Подставляем результаты в первый интеграл:
   \(\int x^3 sinx dx = -x^3 cosx + 3(x^2 sinx + 2x cosx - 2 sinx) + C = -x^3 cosx + 3x^2 sinx + 6x cosx - 6 sinx + C\).

Ответ: \(-x^3 cosx + 3x^2 sinx + 6x cosx - 6 sinx + C\)