\(\int_{1}^{e} x \ln^2 x dx\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Интегрирование по частям

   Используем интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\). Пусть \(u = \ln^2 x\) и \(dv = x dx\). Тогда: \(du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx\) и \(v = \frac{x^2}{2}\) Таким образом, интеграл становится: \[\int x \ln^2 x dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int \frac{x^2}{2} \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int x \ln x dx\]

2. Шаг 2: Интегрирование по частям еще раз

   Используем интегрирование по частям снова для \(\int x \ln x dx\). Пусть \(u = \ln x\) и \(dv = x dx\). Тогда: \(du = \frac{1}{x} dx\) и \(v = \frac{x^2}{2}\) Таким образом, интеграл становится: \[\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C\]

3. Шаг 3: Подстановка результатов

   Подставляем результат второго интегрирования в первое: \[\int x \ln^2 x dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) + C = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C\]

4. Шаг 4: Вычисление определенного интеграла

   Теперь вычисляем определенный интеграл от 1 до e: \[\int_{1}^{e} x \ln^2 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e}\] Подставляем верхний и нижний пределы: \[= \left( \frac{e^2}{2} \ln^2 e - \frac{e^2}{2} \ln e + \frac{e^2}{4} \right) - \left( \frac{1^2}{2} \ln^2 1 - \frac{1^2}{2} \ln 1 + \frac{1^2}{4} \right)\] Так как \(\ln e = 1\) и \(\ln 1 = 0\): \[= \left( \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} \right) - \left( 0 - 0 + \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}\] \[= \frac{e^2 - 1}{4}\]