5. \(\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x+3}}>1;\) 6. \(x+\sqrt{x}<2;\) 7. \((x-1) \sqrt{x^{2}-x-2} \geq 0;\) 8. \(\sqrt{2 x+4}<\sqrt{x^{2}+4};\)

Решим каждое неравенство по порядку.

5. \(\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x+3}}>1\)

ОДЗ: \(\frac{x^{2}-x}{x+3} \geq 0\) и \(x+3
eq 0\)

Решим неравенство методом интервалов: \(\frac{x(x-1)}{x+3} \geq 0\)

Отметим на числовой прямой точки \(-3, 0, 1\) и определим знаки на каждом интервале:

    +        -       +        +
----(-3)----(0)----(1)-----> x

Решением неравенства является \(x \in (-3; 0] \cup [1; +\infty)\)

Теперь решим исходное неравенство, возведя обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны):

\(\frac{x^{2}-x}{x+3}>1\)

\(\frac{x^{2}-x}{x+3}-1>0\)

\(\frac{x^{2}-x-x-3}{x+3}>0\)

\(\frac{x^{2}-2x-3}{x+3}>0\)

\(\frac{(x-3)(x+1)}{x+3}>0\)

Решим методом интервалов, отметим точки \(-3, -1, 3\) на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   -       +       -       +
---(-3)---(-1)---(3)-----> x

Получаем решение \(x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)\)

С учетом ОДЗ получаем:

\(x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)\)

6. \(x+\sqrt{x}<2\)

ОДЗ: \(x \geq 0\)

Пусть \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^{2}\)

Неравенство принимает вид:

\(t^{2} + t < 2\)

\(t^{2} + t - 2 < 0\)

\((t+2)(t-1) < 0\)

Решением этого неравенства является \(t \in (-2; 1)\)

Возвращаемся к переменной x: \(-2 < \sqrt{x} < 1\)

Так как \(\sqrt{x} \geq 0\), то получаем \(0 \leq \sqrt{x} < 1\)

Возводя в квадрат, получаем \(0 \leq x < 1\)

7. \((x-1) \sqrt{x^{2}-x-2} \geq 0\)

ОДЗ: \(x^{2}-x-2 \geq 0\)

\((x-2)(x+1) \geq 0\)

Решением этого неравенства является \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\)

Теперь рассмотрим два случая:

а) \(x-1 \geq 0\) и \(\sqrt{x^{2}-x-2} \geq 0\)

\(x \geq 1\) и \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\)

Решением является \(x \in [2; +\infty)\)

б) \(x-1 \leq 0\) и \(\sqrt{x^{2}-x-2} \leq 0\)

\(x \leq 1\) и \(x^{2}-x-2 = 0\)

\(x \leq 1\) и \(x = -1, 2\)

Решением является \(x = -1\)

Объединяя решения, получаем \(x = -1 \cup [2; +\infty)\)

8. \(\sqrt{2 x+4}<\sqrt{x^{2}+4}\)

ОДЗ: \(2x+4 \geq 0\) и \(x^{2}+4 \geq 0\)

\(x \geq -2\) и \(x \in R\)

Решением ОДЗ является \(x \geq -2\)

Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части неотрицательны):

\(2x+4 < x^{2}+4\)

\(0 < x^{2} - 2x\)

\(x^{2} - 2x > 0\)

\(x(x-2) > 0\)

Решением этого неравенства является \(x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\)

С учетом ОДЗ получаем \(x \in [-2; 0) \cup (2; +\infty)\)

Ответ: 5. \(x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)\); 6. \(0 \leq x < 1\); 7. \(x = -1 \cup [2; +\infty)\); 8. \(x \in [-2; 0) \cup (2; +\infty)\)