7. \( \lim_{n \to \infty} (\frac{n^3}{n^2 + 1} - \frac{3n^2}{3n - 1})^{3n - 1} = \)

Разбираемся:

Для начала упростим выражение в скобках:

\[\frac{n^3}{n^2 + 1} - \frac{3n^2}{3n - 1}\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{n^3(3n - 1) - 3n^2(n^2 + 1)}{(n^2 + 1)(3n - 1)}\]

Раскрываем скобки:

\[\frac{3n^4 - n^3 - 3n^4 - 3n^2}{(n^2 + 1)(3n - 1)} = \frac{-n^3 - 3n^2}{(n^2 + 1)(3n - 1)}\]

Выносим -n² из числителя:

\[\frac{-n^2(n + 3)}{(n^2 + 1)(3n - 1)}\]

Теперь рассмотрим предел:

\[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{-n^2(n + 3)}{(n^2 + 1)(3n - 1)}\right)^{3n - 1}\]

Сначала упростим выражение в скобках, разделив числитель и знаменатель на n³:

\[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{-(1 + \frac{3}{n})}{(1 + \frac{1}{n^2})(3 - \frac{1}{n})}\right)^{3n - 1}\]

Теперь найдем предел выражения в скобках при n стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{-(1 + \frac{3}{n})}{(1 + \frac{1}{n^2})(3 - \frac{1}{n})} = \frac{-(1 + 0)}{(1 + 0)(3 - 0)} = -\frac{1}{3}\]

Тогда:

\[\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^{3n - 1}\]

Поскольку основание степени (-1/3) по модулю меньше 1, а показатель стремится к бесконечности, то предел равен 0.

Ответ: 0